Теоретические материалы Диаметр, перпендикулярный к хорде

ЭМГеометрия

Теоретические материалы

7. Окружность и круг

7.2. Диаметр, перпендикулярный к хорде. Дуги между параллельными хордами

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые её дуги пополам.
Дано: .
Требуется доказать: , , .

Для доказательства надо рассмотреть равнобедренный с высотой .

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к ней и делит стягиваемые ею дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину дуги, перпендикулярен к стягивающей ее хорде и делит её пополам.

Скажите, равны ли дуги, заключенные между параллельными хордами?

Да, так как есть теорема, подтверждающая это.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Дано: .
Требуется доказать: .

Проведем диаметр , перпендикулярный хорде . Тогда , и . При перегибании чертежа по полуокружности совместятся. Совпадут точки с и с , поэтому совместятся дуги: .

Оглавление

  • 1. Окружность. Центральные углы. Зависимость между дугами и хордами
  • 2. Диаметр, перпендикулярный к хорде. Дуги между параллельными хордами
  • 3. Касательная к окружности
  • 4. Измерение центральных и вписаных углов
  • 5. Другие углы, связанные с окружностью
  • 6. Пропорциональные отрезки в круге
  • 7. Длина окружности и дуги
  • 8. Площадь круга и его частей

Платформа для разработки и использования образовательных онлайн-ресурсов БГУ
на базе LMS MOODLE 3.6.2+ — самой новой версии.

© Белорусский государственный университет. Адрес: пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

ГУО “Институт повышения квалификации и переподготовки в области технологий информатизации и управления” БГУ принимает оплату за подготовительные курсы для школьников онлайн ,
УНП 100336910, юр. адрес: Республика Беларусь, 220004 г. Минск, адрес: Ул. Кальварийская, 9, 826.

Диаметр перпендикулярный хорде делит стягиваемые ею дуги пополам

Ключевые слова: хорда, окружность, диаметр, круг

Читайте также:  Порок сердца неуточненный код мкб

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии.
Данная точка называется центром окружности,
а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Читайте также:  Эхинацеи настойка от чего принимают, дозировка, противопоказания

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Читайте также:  Перцовый пластырь инструкция, сколько держать на спине

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Ссылка на основную публикацию
Тенотен детский инструкция по применению, состав, дозировка и стоимость препарата
Тенотен для детей: отзывы и инструкция по применению Прием успокоительных препаратов в наше время не является чем-то из ряда вон...
Тахикардия, виды тахикардии, причины, признаки, диагностика, симптомы, лечение
Тахикардия сердца: что это и как лечить Возбуждение, стресс, физическая нагрузка, иногда заставляют ваше сердце биться быстрее. Тахикардия часто безвредна...
Твердая шишка во впадине влагалища, что со мной — 28 ответов врачей на вопрос на сайте СпросиВрача
Рак влагалища Влагалище — орган женской репродуктивной системы, который представляет собой канал, соединяющий шейку матки с вульвой (наружными женскими половыми...
Тенотен или Глицин что и когда лучше, в чем разница, это одно и то же, можно ли принимать одновремен
Лучшие успокоительные таблетки для нервной системы без рецептов Жизнь в огромном мегаполисе напоминает постоянный круговорот событий, затягивающий людей, желающих успеть...
Adblock detector